Теоремы о существовании и единственности точной верхней (нижней) грани.

Если $A \neq \emptyset$ и $A$ ограниченно сверху, то $\exists{sup A}$

Пусть $A \neq \emptyset$, $B$ - множество верхних граней, тогда: $\forall{a \in A, b \in B}~~ a \leq b \Rightarrow$ по аксиоме о непрерывности: $\exists{M \in \mathbb{R}}~~ \forall{a \in A, b \in B}~~ a\leq M\leq b$ $a \leq M \Rightarrow A$ - ограничено сверху $M \leq b \Rightarrow M = supA ~~~ \square$

У множества не более 1 точной верхней грани ($\exists{sup}~~ \Rightarrow sup!$)

От противного: $\exists{M_{1} \neq M_{2}}$ ($M_{1} = supA$ и $M_{2} = supA$) Б.О.О. (без ограничения общности) $M_{1} < M_{2}$. Пусть $\epsilon = M_{2} - M_{1}$. По определению: $\forall{\epsilon >0}~~ \exists{a \in A}~~ a > M_{2} - \epsilon \Rightarrow a > M_{1}$, что противоречит $M_{1} = sup A ~~~\square$